Lições de Métodos Quantitativos
Bom, se você quer entender como funciona os sistemas que envolvam taxas de crescimento diferencias é importante então que revisemos alguns conceitos. Vejamos a notação de derivadas:
Aqui, f '(x) designa o quanto y varia para cada alteração de uma unidade em x. É para encontrarmos essa variação que essencialmente existe a derivada. Nesse ponto, é interessante lembrar que o conceito de derivada é um conceito infinitesimal, ou seja, quando falamos da reação de y a uma alteração de x, queremos observar como isso ocorre a uma variação mínima de x que seja maior que zero.
Vamos agregar agora uma nova variável à questão, uma variável muito comum em várias áreas: o tempo! Vamos defini-lo pela notação "t".
E vamos observar então, como uma determinada grandeza varia ao longo do tempo.
Ou seja, o quanto varia K quando o tempo varia (e nesse contexto, obviamente o tempo não precisa se dizer absoluto pois consideramos que na nossa física newtoniana a variação do tempo será sempre positiva). Logicamente, se acrescentarmos mais unidades de K quando t variar temos um crescimento positivo, e do contrário, um crescimento negativo.
A notação dK/dt nos oferece então a variação instantânea e absoluta de K exatamente pela característica infinitesimal e modular da derivada. Se tomarmos dt como sendo igual a 1, essa noção se torna ainda mais clara. Para você que estuda ou trabalho com taxas de crescimento, é interessante notar que os modelos formalizados em relação ao tempo costumam se apresentar mais elegantemente em análises.
Cabe aqui então colocar uma separação importante. Exatamente pela característica física do tempo, ele pode ser observado de maneira contínua (a cada acréscimo infinitesimal de tempo), ou pode ser observado de maneira discreta (a cada acréscimo pré-definido de tempo).
E dessa forma, passemos a tomar predominantemente a definição contínua de crescimento temporal, e para simplificar a nossa notação, tomaremos
Dessa forma, com tudo o que foi dito aqui, temos a taxa de crescimento em tempo discreto:
Bem como temos uma taxa de crescimento em tempo contínuo:
E por fim, é bastante interessante esclarecer que dK/dt não é taxa de crescimento!! Somente se dividirmos essa variação pelo valor total de K é que teremos a proporção à qual essa variável cresce em relação a si mesma, o que por si só, é muito semelhantes à noção comum de porcentagem.
